對于函數(shù)f(x),若f(x0)=x0,則稱x0為f(x)的:“不動(dòng)點(diǎn)”;若f[f(x0)]=x0,則稱x0為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B,即A={x|f[f(x)]=x}.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求證:B=∅;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論判斷A=B恒成立?若能,請給出證明,若不能,請舉以反例.
分析:(1)由已知中不動(dòng)點(diǎn)的定義,由函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)結(jié)合二次方程的根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系,可得結(jié)論;
(2)由已知中不動(dòng)點(diǎn)的定義,由函數(shù)f(x)=3x+4,求出集合A和B,另可舉出反例f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2,推翻結(jié)論A=B恒成立
解答:解:∵A={x|f[f(x)]=x}=∅,
∴ax2+bx+c=x無解
即△=(b-1)2-4a<0
①當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)y=f(x)-x,即y=ax2+(b-1)x+c的圖象在x軸的上方
∴?x∈R,f(x)-x恒成立
∴?x∈R,f(x)>x恒成立
∴?x∈R,f[f(x)]>f(x)>x恒成立,即B=∅;
②當(dāng)a<0時(shí),同理可證B=∅;
綜上,對于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)A=∅時(shí),B=∅;
(2)由f(x)=x,f(x)=3x+4得3x+4=x,解得x=-2
由f[f(x)]=x得3(3x+4)+4=x,解得x=-2
∴A=B={-2}
但A=B不能恒成立,如f(x)為如下對應(yīng)關(guān)系時(shí):
f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2
則有A={1},B={1,2,3}使A≠B
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì),其中正確理解不動(dòng)點(diǎn)的定義是解答的關(guān)鍵,另外舉反例難度較大.
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對于函數(shù)f(x),若存在區(qū)間M=[a,b](其中a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個(gè)函數(shù):
①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
(填出所有滿足條件的函數(shù)序號)

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對于函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b(a<b),使當(dāng)x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域也是[a,b],則稱函數(shù)f(x)為“科比函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=k+
x+2
是“科比函數(shù)”,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 

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對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)
f(x)=ax2+bx+1(a>0)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1,x2
(1)若x1<1<x2,且f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,求證:
12
<m<1;
(2)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,
(2)已知各項(xiàng)不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求證:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前題條件下,設(shè)bn=-
1
an
,Tn表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:T2011-1<ln2011<T2010

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