Question

9．如圖，邊長(zhǎng)為2的正△ABC頂點(diǎn)A在平面α上，B，C在平面α的同側(cè)，M為BC的中點(diǎn)．若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點(diǎn)的△A₁B₁C₁，則M到平面α的距離的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)出B，C到面的距離，則M到平面α的距離為兩者和的一半，確定ab=2，即可求出M到平面α的距離的取值范圍．

解答 解：設(shè)B，C到平面α距離分別為a，b，則M到平面α距離為h=$\frac{a+b}{2}$
射影三角形兩直角邊的平方分別4-a²，4-b²，
設(shè)線段BC射影長(zhǎng)為c，則4-a²+4-b²=c²，（1）
又線段AM射影長(zhǎng)為$\frac{c}{2}$，所以（$\frac{c}{2}$）²+$\frac{（a+b）^{2}}{4}$=3，（2）
由（1）（2）聯(lián)立解得ab=2，
∵a＜2，b＜2，
∴h=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{2}{a}$）∈[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$），
故答案為：[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查M到平面α的距離的取值范圍，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定ab=2是關(guān)鍵．