Question

已知雙曲線=1(m＞0,n＞0)的頂點(diǎn)為A₁、A₂，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.
(1)求直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)當(dāng)m≠n時，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.

Answer 1

(1)=1, M的軌跡方程是 (2)(ⅰ)當(dāng)m＞n時，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=；
(ⅱ)當(dāng)m＜n時，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.

(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x₁,y₁)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),則A₁P的方程為: y=                 ①
A₂Q的方程為: y=－                              ②
①×②得: y²=－                              ③
又因點(diǎn)P在雙曲線上，故
代入③并整理得=1, 此即為M的軌跡方程.
(2)當(dāng)m≠n時，M的軌跡方程是橢圓.
(ⅰ)當(dāng)m＞n時，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=；
(ⅱ)當(dāng)m＜n時，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.