Question

如圖，三角ABC是邊長為4正三角形，PA⊥底面ABC，PA=

7

，點D是BC的中點，點E在AC上，且DE⊥AC．
（1）證明：DE⊥平面PAC；
（2）求直線AD和平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)PA⊥底面ABC得到PA⊥DE；再結(jié)合DE⊥AC即可證明結(jié)論；
（2）方法一：先結(jié)合第一問的結(jié)論得到平面PDE⊥平面PAC；再點A作AF⊥PE，連接DF，根據(jù)條件推得∠ADF為直線AD和平面PDE所成角的平面角，最后在三角形中求出∠ADF解．
方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的對應(yīng)向量坐標(biāo)，在求出平面的法向量的坐標(biāo)，最后代入向量的夾角計算公式即可．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABC，DE?底面ABC，
∴PA⊥DE，-------------------（2分）
又DE⊥AC，PA∩AC=A，
∴DE⊥平面PAC．------------------（4分）
（2）方法一：由（1）知，DE⊥平面PAC，又DE?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC．
過點A作AF⊥PE，連接DF．-------------------（6分）
∵平面PDE⊥平面PAC，平面PDE∩平面PAC=PE，AF?平面PAC，
∴AF⊥平面PDE，------（8分）
∴∠ADF為直線AD和平面PDE所成角的平面角．----------（10分）
∵△ABC是邊長為4的正三角形，
∴AD=2

3

，AE=4-CE=4-

1

2

CD=3．
又∵PA=

7

，所以 PE=

PA2+AE2

=

(  7  )2+32

=4，AF=

AE•PA

PE

=

3 7

4

，
∴sin∠ADF=

AF

AD

=

21

8

．-------（13分）
即直線AD和平面PDE所成角的正弦值為

21

8

．-------------（14分）
方法二：如圖所示，以點A為坐標(biāo)原點，AD所在直線為x軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系-----（2分）
∵在正三角形△ABC中，DE⊥AC，
∴AD=2

3

，AE=3，
∴A（0，0，0），P ( 0 ， 0， 

7

 )，D( 2

3

 ， 0 ， 0 )，E ( 

3 3

2

， 

3

2

 ，0 )．-----（6分）
易知 

PD

=( 2

3

 ， 0 ， -

7

 )，

PE

=( 

3 3

2

 ， 

3

2

 ， -

7

 )，

AD

=( 2

3

 ，0 ，0 )．---（8分）
設(shè) n=（x，y，z）是平面PDE的一個法向量，則

n• PD =2 3 x- 7 z=0 n• PE = 3 3 2 x+ 3 2 y- 7 z=0

解得 x=

21

6

z，y=

7

6

z．
故可取 n=(

21

， 

7

 ， 6 )．-------（11分）
于是cos＜n ， 

AD

＞=

n• AD

|n|•| AD |

=

6 7

8×2 3

=

21

8

．------（13分）
由此即知，直線AD和平面PDE所成角的正弦值為

21

8

．-----------（14分）

點評：本題主要考察用空間向量求直線與平面的夾角以及直線與平面垂直的判定．一般在證明直線與平面垂直的判定問題時，常轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，進(jìn)而得到直線與平面垂直．