Question

5．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（2）=1，且f（x）的導數f′（x）在R上的恒有f′（x）＜$\frac{1}{4}$（x∈R），則不等式f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-2，2）
• C． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由f′（x）＜$\frac{1}{4}$，構造輔助函數g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}$x，求導，利用導數判斷函數單調遞減，根據f（2）=1，求得g（2）=$\frac{1}{2}$，根據f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$，將其轉換成g（x²）＜g（2），根據函數單調性即可求得不等的解集．

解答 解：f′（x）＜$\frac{1}{4}$（x∈R），
f′（x）-$\frac{1}{4}$＜0，
設g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}$x，
g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{4}$＜0，
∴g（x）是R上的減函數，g（2）=g（2）-$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$，
g（x²）=f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{4}$＜$\frac{1}{2}$=g（2），
∴x²＞2，
解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
∴原不等式的解集為（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案選：C．

點評 本題考查抽象不等式求解，關鍵是利用函數的單調性，根據已知條件和所要解的不等式，找到合適的函數作載體是關鍵，屬于中檔題．