Question

如圖，三角形中，，是邊長(zhǎng)為的正方形，平面 ⊥底面，若、分別是、的中點(diǎn)．
（1）求證：∥底面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求幾何體的體積．

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）．

解析
試題分析：本題主要考查線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直、面面垂直、線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力．第一問(wèn)，作出輔助線(xiàn)，在中，HG為中位線(xiàn)，則，在中，HF為中位線(xiàn)，則，，所以，利用線(xiàn)面平行的判定得平面，平面，再利用面面平行的判定得平面//平面，利用面面平行的性質(zhì)得//平面；第二問(wèn)，由，得為直角三角形，，而平面，則由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得，由線(xiàn)面垂直的判定得平面；第三問(wèn)，取AB中點(diǎn)，由于為等腰直角三角形，所以，而，所以⊥平面，所以CN是錐體的高，利用錐體的體積公式計(jì)算體積即可．
（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b6/1/1ds914.png" style="vertical-align:middle;" />分別是和的中點(diǎn)，所以，，    
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/42/5/1ky2s2.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，   所以，從而，
所以平面，平面，，
所以平面//平面，所以//平面．          4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/42/5/1ky2s2.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以，所以平面，    
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e8/0/yilir.png" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，所以平面，          
所以，又