Question

如圖所示，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn).

（1）求證：BC//平面EFG；

（2）求證：平面AEG；

（3）求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比.

 

Answer 1

（1）因?yàn)锽C∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906030085356895/SYS201502090603052599394106_DA/SYS201502090603052599394106_DA.001.png">，所以∥平面EFG；

（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DH ，即 AE⊥DH

因?yàn)椤鰽DG≌△DCH ，所以∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°，所以∠AGD+∠HDC=90°，所以DH⊥AG 又因?yàn)锳E∩AG=A，所以DH⊥平面AEG；

（3）.

【解析】

試題分析：（1）首先利用平行公理即平行的傳遞性證明BC∥EF，再由已知條件并運(yùn)用線面平行的判定，證明∥平面EFG；（2）由已知PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DH即證明了AE⊥DH，然后利用△ADG≌△DCH 得出對(duì)應(yīng)角相等即∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°即證明了DH⊥AG，從而由直線與平面的判定定理可證DH⊥平面AEG；（3）由三棱錐的等體積可得，，然后根據(jù)三棱錐和四棱錐的體積計(jì)算公式即可求出其體積比.

試題解析：（1）因?yàn)锽C∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906030085356895/SYS201502090603052599394106_DA/SYS201502090603052599394106_DA.001.png">，所以∥平面EFG.

（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DH ，即 AE⊥DH

因?yàn)椤鰽DG≌△DCH ，所以∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°，所以∠AGD+∠HDC=90°，所以DH⊥AG 又因?yàn)锳E∩AG=A，所以DH⊥平面AEG.

（3）.

考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問(wèn)題；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定.