精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且EC、BD在平面ABC的同側(cè),M為EA的中點,CE=CA=2BD,求證:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA.
分析:(1)取AC中點N,連接MN、BN,欲證DE=DA,根據(jù)三角形的中線又是高的三角形是等腰三角形,而M為AE中點,只需證明DM⊥AE即可;
(2)欲證平面BDM⊥平面AEC,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面BDM內(nèi)一直線與平面AEC垂直,而根據(jù)題意可得DM⊥平面AEC.
解答:證明:(1)取AC中點N,連接MN、BN,∵△ABC是正三角形,∴BN⊥AC,
∵EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,∴EC∥BD,EC⊥BN,
又∵M為AE中點,EC=2BD,∴MN
.
.
BD,∴BN
.
.
DM,
∴四邊形MNBD是平行四邊形,
由BN⊥AC,BN⊥EC,得BN⊥平面AEC,∴DM⊥平面AEC,
∴DM⊥AE,∴AD=DE.
(2)∵DM⊥平面AEC,DM?平面BDM,
∴平面BDM⊥平面AEC.
點評:本小題主要考查平面與平面垂直的判定,以及等腰三角形的判定等有關(guān)知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
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如圖,已知△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且EC、BD在平面ABC的同側(cè),M為EA的中點,CE=CA=2BD,
求證:(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA.

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如圖,已知△ABC為直角三角形,其中∠ACB=90°,M為AB中點,PM垂直于△ABC所在平面,那么( )

A.PA=PB>PC
B.PA=PB<PC
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC

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