Question

已知三點A（-1，0），B（1，0），C(-1，

3

2

)，曲線E過C點，且動點P在曲線E上運動，并保持|PA|+|PB|的值不變．
（I）求曲線E的方程；
（II）若C、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是曲線E上的不同三點，直線CM、CN的傾斜角互補．問直線MN的斜率是否是定值？如果是，求出該定值，如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由于保持|PA|+|PB|的值不變，可知動點P到兩個定點的距離和這常數(shù)，結(jié)合橢圓的定義知P點軌跡是橢圓，從而問題解決；
（II）對于探索性問題，可先設(shè)直線CM、CN方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到一個關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出交點的坐標(biāo)（用k表示），最后利用斜率公式求出直線MN的斜率看它是不是常數(shù)即可．

解答：解：（I）由題意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）
∴由定義得P點軌跡是橢圓，
且b²=a²-c²=3．
因此，曲線E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1.（5分）
（II）由條件知直線CM，CN的斜率存在且不為0，
設(shè)直線CM的方程為y=k(x+1)+

3

2

，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)+ 3 2

消去y，
整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0
∵C在橢圓上，
∴方程兩根為-1，x1∴-x1=

4k2+12k-3

4k2+3

，x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

.（9分）
∵直線PM，PN的傾斜角互補，
∴直線PM，PN的斜率互為相反數(shù)，
∴x2=-

4k2-12k-3

4k2+3

.（11分）
則x1-x2=

-24k

4k2+3

，x1+x2=

6-8k2

4k2+3

.
又y1=k(x1+1)+

3

2

，y2=-k(x2+1)+

3

2

，
∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(

6-8k2

4k2+3

+2)=

12k

4k2+3

.
∴直線MN的斜率KMN=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

（定值）（13分）

點評：本題主要考查了橢圓的定義、軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等知識．屬于基礎(chǔ)題．