分析 (1)求解得出f′(x)═ln(ax)+1$≤\frac{x}{2}$$+\frac{1}{2}$,即2ln(ax)+1-x≤0在x>0恒成立,構(gòu)造函數(shù)令h(x)=2ln(ax)+1-x,再次求解導(dǎo)數(shù)判斷.
(2)綜合求解導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性得出x∈(0,$\frac{1}{e}$),f′(x)<0,f(x)遞減,m,n∈($\frac{1}{e}$,1),$\frac{2}{m}$<m+n<1,由x∈($\frac{1}{e}$,+∞),f′(x)>0,f(x)遞增,利用單調(diào)性得出lnm$<\frac{m+n}{m}$ln(m+n)
同理f(m+n)=(m+n)ln(m+n)>nlnn,lnn$<\frac{m+n}{n}$ln(m+n),利用對(duì)數(shù),指數(shù)的運(yùn)用求解證明ln(mn)<2ln(m+n)$+\frac{n}{m}$ln(m+n),即可證明.$\frac{mn}{(m+n)^{2}}$<(m+n)${\;}^{\frac{n}{m}}$.
解答 (1)解:f′(x)═ln(ax)+1$≤\frac{x}{2}$$+\frac{1}{2}$,即2ln(ax)+1-x≤0在x>0恒成立,
令h(x)=2ln(ax)+1-x,∴h′(x)=$\frac{2}{x}$-1,
故x∈(0,2)時(shí),h′(x)>0,則h(x)在(0,2)遞增,x>2時(shí),h′(x)<0,
則h(x)在(2,+∞)遞減,則h(x)max=h(2),依題意h(2)≤0,∴0$<a≤\frac{\sqrt{e}}{2}$.
(2)a=1,f(x)=xlnx,令f′(x)=0得x=$\frac{1}{e}$,且x∈(0,$\frac{1}{e}$),f′(x)<0,f(x)遞減,
x∈($\frac{1}{e}$,+∞),f′(x)>0,f(x)遞增,故x0=$\frac{1}{e}$.
則m,n∈($\frac{1}{e}$,1),$\frac{2}{m}$<m+n<1,由x∈($\frac{1}{e}$,+∞),f′(x)>0,f(x)遞增,則有:
f(m+n)=(m+n)ln(m+n)>mlnm,
∴l(xiāng)nm$<\frac{m+n}{m}$ln(m+n),
同理f(m+n)=(m+n)ln(m+n)>nlnn∴l(xiāng)nn$<\frac{m+n}{n}$ln(m+n),
lm+lnn<($\frac{m+n}{m}$$+\frac{m+n}{n}$)ln(m+n)=(2$+\frac{n}{m}$$+\frac{m}{n}$)ln(m+n)=2ln(m+n)+($\frac{n}{m}$$+\frac{m}{n}$)ln(m+n),又ln(m+n)<0,$\frac{n}{m}$>0,$\frac{m}{n}$>0,
∴l(xiāng)n(mn)<2ln(m+n)$+\frac{n}{m}$ln(m+n),即可證明.$\frac{mn}{(m+n)^{2}}$<(m+n)${\;}^{\frac{n}{m}}$.
點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,綜合分析問(wèn)題能力,解決問(wèn)題的能力,關(guān)鍵是看出構(gòu)造的函數(shù),屬于難度較大的題目.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | -2 | B. | -3 | C. | 2 | D. | 3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 2 | C. | -2 | D. | -$\frac{1}{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | ($\frac{1-\sqrt{5}}{4}$,0) | B. | ($\frac{1-\sqrt{5}}{4}$,$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$) | C. | [$\frac{9-9\sqrt{5}}{32}$,$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$) | D. | [$\frac{9-9\sqrt{5}}{32}$,0) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-8) | B. | (-∞,-8]∪(0,1) | C. | (-∞,-8]∪[0,1] | D. | (-8,1) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com