精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右頂點和右焦點分別為A（a，0）、F（c，0），若在直線x=-
a2
c
上存在點P使得∠APF=30°．則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�
A、（1，
3+
17
2
]
B、[
3+
17
2
，+∞）
C、（1，4]
D、[4，+∞）
考點：雙曲線的簡單性質
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：首先運用正弦定理，求得圓的半徑r=c-a，再由直角三角形求得圓B的方程，所求圓恰好經過A，F，則原題等價于直線x=-
a2
c
與圓B存在公共點，即有
a+c
2
+
a2
c
≤c-a，由離心率公式，解不等式即可得到．
解答： 解：由A（a，0）、F（c，0），
則|AF|=c-a，
由正弦定理可得，2r=
|AF|
sin30°
=2（c-a），即有r=c-a，
且圓心B在x=
a+c
2
上，
當△AFQ為直角三角形，且∠AQF=30°，∠QAF=90°時，可得B的縱坐標為
3
2
（c-a）．
故以B(
a+c
2
，
3
(c-a)
2
)為圓心、c-a為半徑的圓B恰好經過A、F兩點，
且圓B上的點Q即為使得∠AQF=30°的所有點，
所以原題等價于直線x=-
a2
c
與圓B存在公共點，
即
a+c
2
+
a2
c
≤c-a⇒e2-3e-2≥0
⇒e≥
3+
17
2
，或e≤
3-
17
2
（舍去）．
故選B．
點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查離心率的求法，考查直線和圓的關系，考查正弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（2，4，x），
b
=（2，y，2），若|
a
|=6，
a
⊥
b
，則x+y的值是（　�。�
A、-3或1B、3或-1
C、-3D、1

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圓C關于直線x+y-1=0對稱，圓心在第二象限，半徑為
2
．
（1）求圓C的方程；
（2）已知不過原點的直線l與圓C相切，且與x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題中：
①函數f（x）=
1
x
在定義域內為單調遞減函數
②函數f（x）=x+
a
x
（x＞0）的最小值為2
a

③已知定義在R上周期為4的函數f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），則f（x）一定為偶函數
④已知函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），則a+b+c=0是f（x）有極值的必要不充分條件；
⑤已知函數f（x）=x-sinx，若a+b＞0，則f（a）+f（b）＞0．
其中正確命題的序號為
 
（寫出所有正確命題的序號）．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

二階矩陣M對應的變換TM將曲線x2+x-y+1=0變?yōu)榍�2y2-x+2=0．求M-1．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：x2-2ax+y2=0（a＞0）與直線l：x-
3
y+3=0相切，則a=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

在四面體ABCD中，已知
AB
=
b
，
AD
=
a
，
AC
=
c
，
BE
=
1
2
EC
，則
DE
=（　　）
A、-
a
+
2
3
b
+
1
3
c
B、
a
+
2
3
b
+
1
3
c
C、
a
-
2
3
b
+
1
3
c
D、
2
3
a
-
b
+
1
3
c

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在R上的奇函數f（x）是減函數，若s，t滿足不等式組
f(t)+f(s-2)≤0
f(t-s)≥0
則當2≤s≤3時，2s+t的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

在四邊形ABCD中，M、N分別是AD和BC的中點，則向量
MN
=（　�。�
A、
1
2
（
AB
+
CD
）
B、
1
2
（
AB
-
CD
）
C、
AB
+
CD
D、
AB
-
.
CD

查看答案和解析>>

同步練習冊答案