Question

（2012•福州模擬）過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若T為線段FP的中點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

A．x±y=0

B．2x±y=0

C．4x±y=0

D．x±2y=0

Answer 1

分析：由過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為T，知OT=a，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，由T為線段FP的中點(diǎn)，知|PF′|=2a，|PF|=2b，由雙曲線的定義知：2b-2a=2a，由此能求出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程．

解答：解：∵過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為T，
∴OT=a，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，
∵T為線段FP的中點(diǎn)，
∴|PF′|=2a，|PF|=2b，
由雙曲線的定義知：2b-2a=2a，
∴b=2a．
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為bx±ay=0，
即2ax±ay=0，
∴2x±y=0．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．