Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，點(diǎn)在線段上，，是線段的中點(diǎn)，且三棱錐的體積是四棱錐體積的.

（1）若是的中點(diǎn)，證明：平面平面；

（2）若平面，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)面面平行的判定定理，即可得出結(jié)果；

（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?/span>，，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角公式，即可求出結(jié)果.

（1）連接交于點(diǎn)，連接，

由題可知：由可知：，則，

所以，且，且，

所以平面平面；

（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?/span>，，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，

即，令，則

同理：平面的一個(gè)法向量

所以，

所以二面角的正弦值為.