【題目】如圖,有一塊矩形空地,要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形為綠地,使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,設(shè)AE=x,綠地面積為y.
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)AE為何值時,綠地面積y最大?
【答案】(1) y=-2x2+(a+2)x(0<x≤2);(2)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)可以用減法,整個矩形的面積-4個直角三角形的面積得到陰影面積,根據(jù)矩形邊長求函數(shù)定義域,、;(2)函數(shù)配方后可得,討論對稱軸和定義域端點值2的關(guān)系,定義域若包含對稱軸,那頂點最大,若定義域不包含對稱軸,那離對稱軸近函數(shù)值大,分情況得到函數(shù)的最大值.
試題解析:(1)由題意可知,S△AEH=S△CGF=,S△DHG=S△BEF=(a-x)(2-x),
所以y=-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x.
故函數(shù)解析式為y=-2x2+(a+2)x(0<x≤2).
(2)因為y=-2x2+(a+2)x (0<x≤2),
當(dāng),即a<6時,則時,y取最大值,
當(dāng),即a≥6時,y=-2x2+(a+2)x在x∈(0,2]上是增函數(shù),
則x=2時,y取最大值2a-4.
綜上所述:當(dāng)a<6時,AE=時,綠地面積取最大值;
當(dāng)a≥6時,AE=2時,綠地面積取最大值2a-4.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù):
房屋面積x(m2) | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
銷售價格y(萬元) | 24.8 | 21.6 | 18.4 | 29.2 | 22 |
(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖;
(2)求線性回歸方程,并在散點圖中加上回歸直線.
(參考公式=,=+,其中=60 975,=12 952)
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù),函數(shù)的定義域為.
(1)求的值;
(2)若在上遞減,根據(jù)單調(diào)性的定義求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求實數(shù)的取值范圍,使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
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【題目】某校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)體能測試的成績(百分制)分布在內(nèi),同時為了了解學(xué)生愛好數(shù)學(xué)的情況,從中隨機抽取了名學(xué)生,這名學(xué)生體能測試成績的頻率分布直方圖如圖所示,各分?jǐn)?shù)段的“愛好數(shù)學(xué)”的人數(shù)情況如表所示.
(1)求的值;
(2)用分層抽樣的方法,從體能成績在的“愛好數(shù)學(xué)”學(xué)生中隨機抽取6人參加某項活動,現(xiàn)從6人中隨機選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊,求兩名領(lǐng)隊中恰有1人體能成績在的概率.
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【題目】已知橢圓短軸的一個端點與其兩個焦點構(gòu)成面積為3的直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過圓上任意一點作圓的切線,與橢圓交于兩點,以為直徑的圓是否過定點,如過,求出該定點;不過說明理由.
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【題目】如圖,直三棱柱中,,,點在線段上.
(1)若是中點,證明:平面;
(2)當(dāng)長是多少時,三棱錐的體積是三棱柱的體積的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且函數(shù)在處的切線平行于直線.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若在上存在一點,使得成立.求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)在區(qū)間 上有最大值,最小值.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè).若在時恒成立,求的取值范圍.
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