Question

8．已知函數(shù)f（x）=x（e^x-e^-x），若f（a+3）＞f（2a），則a的范圍是-1＜a＜3．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的奇偶性，求出函數(shù)的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為|a+3|＞|2a|，求出a的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x（e^x-e^-x）=f（-x），
函數(shù)f（x）=x（e^x-e^-x）是偶函數(shù)，
而f′（x）=（e^x-e^-x）+x（e^x+e^-x），
x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
故x＜0時(shí)，f（x）遞減，
∵f（a+3）＞f（2a），
∴|a+3|＞|2a|，
解得：-1＜a＜3，
故答案為：-1＜a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．