Question

4．某鎮(zhèn)政府為了更好地服務(wù)于農(nóng)民，派調(diào)查組到某村考察．據(jù)了解，該村有100戶農(nóng)民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為3萬元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，該鎮(zhèn)政府決定動員部分農(nóng)民從事蔬菜加工．據(jù)估計，若能動員 x （ x＞0）戶農(nóng)民從事蔬菜加工，則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高2x%，而從事蔬菜加工的農(nóng)民平均每戶的年收入將為3 （a-$\frac{3}{50}$x） （ a＞0）萬元．
（1）在動員 x 戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入，求 x 的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入，求 a 的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題中條件：“從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動員前從事蔬菜種植的年總收入”得到一個不等關(guān)系，列不等式得x的取值范圍；
（2）問題先轉(zhuǎn)化成一個不等關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決．

解答 解：（1）由題意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
又因為x＞0，所以0＜x≤50；（6分）
（2）從事蔬菜加工的農(nóng)民的年總收入為3 （a-$\frac{3}{50}$x）x萬元，從事蔬菜種植農(nóng)民的年總收入為3（100-x）（1+2x%）萬元，
根據(jù)題意得，3 （a-$\frac{3}{50}$x）x≤3（100-x）（1+2x%）恒成立，
又x＞0，所以a≤$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1恒成立，
而$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1≥5（當(dāng)且僅當(dāng)x=50時取得等號），
所以a的最大值為5．（16分）

點評 本題主要考查函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用、恒成立問題的解法．求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是經(jīng)久不衰的話題，也是高考的熱點，它可以綜合地考查中學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法，體現(xiàn)知識的交匯．