Question

18．已知函數(shù)$f（x）=3sin（{2x+\frac{π}{4}}）（{x∈R}）$
（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)f（x）取得最大值、最小值的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值是什么？

Answer 1

分析 （1）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增減區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+2kπ$和2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}+2kπ$求出f（x）的最大值和最小值自變量x的集合．

解答 解：函數(shù)$f（x）=3sin（{2x+\frac{π}{4}}）（{x∈R}）$
由-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$，
∴單調(diào)遞增區(qū)間$[{kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}}]（{k∈Z}）$，
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}$，
單調(diào)遞減區(qū)間$[{kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}}]（{k∈Z}）$．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+2kπ$時(shí)，即x=kπ$+\frac{π}{8}$時(shí)，y取得最大值3．
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}+2kπ$，即x=kπ$-\frac{3π}{8}$時(shí)，y取得最大值-3
∴函數(shù)f（x）取得最大值自變量x的集合為$\left\{{x\left|{x=kπ+\frac{π}{8}，k∈Z}\right.}\right\}$，y的最大值3
函數(shù)f（x）取得最小值自變量x的集合為$\left\{{x\left|{x=kπ-\frac{3π}{8}，k∈Z}\right.}\right\}$，y的最大值-3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．