Question

給出下列命題：
（1）空間中點P的柱坐標為(2，

π

6

，1)，則點P的直角坐標為(1，

3

，1)；
（2）若曲線

x2

4+k

+

y2

1-k

=1表示雙曲線，則k的取值范圍是（1，+∞）∪（-∞，-4）；
（3）已知A（-5，0），B（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為-

4

9

，則點M的軌跡方程為

x2

25

+

9y2

100

=1；
（4）已知雙曲線方程為x²-

y2

2

=1，則過點P（1，1）可以作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，使點P是線段AB的中點．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：對四個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）空間中點P的柱坐標為(2，

π

6

，1)，則x=2cos

π

6

=

3

，y=2sin

π

6

=1，z=1，故不正確；
（2）曲線

x2

4+k

+

y2

1-k

=1表示雙曲線，則（4+k）（1-k）＜0，∴k的取值范圍是（1，+∞）∪（-∞，-4），正確；
（3）已知A（-5，0），B（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為-

4

9

，則點M的軌跡方程為

x2

25

+

9y2

100

=1（x≠±5），故不正確；
（4）設過點P（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
①當k存在時，聯(lián)立得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

又方程的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標，P是線段AB的中點，∴x₁+x₂=2，∴k=2 
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當k=2時，方程無實數(shù)解
故過點P（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且P為線段AB中點的直線不存在．
當x=1時，直線經(jīng)過點P但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在 
故答案為：（2）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．