Question

某商家舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，盒中有大小相同的9張卡片，其中三張標(biāo)有數(shù)字1，兩張標(biāo)有數(shù)字0，四張標(biāo)有數(shù)字-1，先從中任取三張卡片，將卡片上的數(shù)字相加，設(shè)數(shù)字和為n，當(dāng)n＞0時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)獎(jiǎng)金10n元；當(dāng)n≤0，無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)．
（1）求取出的三個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)-1的概率．
（2）設(shè)x為獎(jiǎng)金金額，求x的分布列和期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用排列組合公式，我們易計(jì)算出“該幸運(yùn)觀眾摸球三次就停止”的個(gè)數(shù)，及所有事件的總個(gè)數(shù)，代入古典概型公式，即可得到答案．
（2）根據(jù)題意可得X的可能值為0，10，20，30，分別計(jì)算出X分別取0，10，20，30時(shí)的概率，可得到X的分布列，代入期望公式求出數(shù)學(xué)期望EX的值．

解答： 解：（1）設(shè)“取出的三個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)-1”為事件A，由題意知是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從9張卡片中取三個(gè)，共有C₉³種結(jié)果，而事件A是取到只有一個(gè)-1，共有C₄¹C₅²，
則P（A）=

C 1 4 C 2 5

C 3 9

=

10

21

，
（2）X的可能取值是：0，10，20，30，其概率計(jì)算與（1）解釋同理．
①任取三張卡片都是-1，或任取三張卡片中兩張是-1、一張是0，或任取三張卡片中兩張是-1、一張是1，
任取三張卡片中兩張是0、一張是-1，或任取三張卡片中以張是-1、一張是0、一張是1，
則P（X=0）=

C 3 4 + C 2 4 C 1 2 + C 2 4 C 1 3 + C 2 2 C 1 4 + C 1 4 C 1 2 C 1 3

C 3 9

=

31

42

，
②任取三張卡片中兩張是1、一張是-1，或任取三張卡片中兩張是0、一張是1，
則P（X=10）=

C 2 3 C 1 4 + C 2 2 C 1 3

C 3 9

=

5

28

，
③任取三張卡片中兩張是1、一張是0，則P（X=20）=

C 2 3 C 1 2

C 3 9

=

1

14

，
④任取三張卡片都是1，則P（X=30）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，
∴X的分布列為：

X	0	10	20	30
P	31 42	5 28	1 14	1 84

∴EX=0+10×

5

28

+20×

1

14

+30×

1

84

=

25

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列、期望，要注意不重不漏，這是解答本題的易錯(cuò)點(diǎn)，熟練掌握古典概型的意義及概率計(jì)算公式、分類討論的思想方法、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．