Question

16．已知橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點，P為橢圓上任意一點，△PF₁F₂的周長為$4+2\sqrt{3}$，直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l與圓x²+y²=1相切，過橢圓C的右焦點F₂作垂直于x軸的直線，與橢圓相交于M，N兩點，與線段AB相交于一點（與A，B不重合）．求四邊形MANB面積的最大值及取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率及△PF₁F₂的周長求出a、b即可；
（Ⅱ）由已知求出MN的長度，然后，由直線和圓相切得到m，k的關(guān)系，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A，B的橫坐標，代入四邊形面積公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四邊形ACBD的面積有最大值時的m，k的值，從而得到直線l的方程．

解答 解：（ I）設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，由題可知$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{2（a+c）=4+2\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，--（2分）
解得$a=2，c=\sqrt{3}，b=1$，-----------------------（3分）
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．-----------------------（4分）
（ II）令$x=\sqrt{3}$，解得$y=±\frac{1}{2}$，所以|MN|=1，-----------------------（5分）
直線l與圓x²+y²=1相切可得$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即k²+1=m²，-----------------------（6分）
聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0-----------（7分）
所以${S_{MANB}}=\frac{1}{2}|{MN}||{{x_1}-{x_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{2\sqrt{1+4{k^2}-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$----（9分）
將k²+1=m²代入可得${S_{MANB}}=\frac{{2\sqrt{3}|k|}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{1}{|k|}+4|k|}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．------------------（11分）
當且僅當$\frac{1}{|k|}=4|k|$，即$k=±\frac{1}{2}$時，等號成立，此時$m=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．------------------（12分）
所以，當$k=±\frac{1}{2}$時，四邊形MANB的面積具有最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線l方程是$y=\frac{1}{2}x-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$y=-\frac{1}{2}x+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．-----------------------（13分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，屬中檔題