已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),數(shù)列f(an)滿足a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0.

(1)

是否存在常數(shù)c,使得數(shù)列{an+c}成等比數(shù)列?并證明你的結論.

(2)

設bn=3f(an)-[g(an+1)]2.,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

答案:
解析:

(1)

  解析:∵4(an+1-an)(an-1)+(an-1)2=0,∴(an-1)(4an+1-3an-1)=0.

  ∵a1=2,∴an≠1,∴4an+1=3an+1.

  假設存在常數(shù)c,使{an+c}成等比數(shù)列.

  則由為常數(shù).∴c=-1,

  ∴存在常數(shù)c=-1.使{an-1}成等比數(shù)列.

(2)

  an-1=,∴an+1.

  從而bn=3(an-1)2-[4(an+1-1)]2

    。3

  ∴bn=(-6)()2n+2,∴b1=-6,q=

  ∴Sn=b1+b2+…+bn

  。剑[1-()n].

  點評:此題綜合了數(shù)列與函數(shù)的知識,又是探索性問題.其解法具有一定的代表性.


練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源:宜都一中2008屆高三數(shù)學周練(5) 題型:044

已知f(x)=x(x-a)(x-b),點A(s,f(s)),B(t,f(t)).

(1)若a=b=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)的導函數(shù)滿足:當|x|≤1時,有恒成立,求函數(shù)f(x)的解析表達式;

(3)若0<a<b,函數(shù)f(x)在x=s和x=t處取得極值,且a+b=,證明:不可能垂直.

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科目:高中數(shù)學 來源:天津一中2008-2009年高三年級三月考數(shù)學試卷(理) 題型:044

已知f(x)=(x∈R),在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).

(1)求實數(shù)a的值組成的集合A;

(2)設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2,試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:單選題

已知f(x)=x+1,若f(x+1)的圖象關于直線x=2對稱圖象對應的函數(shù)為g(x),則g(x)為( )


  1. A.
    6-x
  2. B.
    x-6
  3. C.
    x-2
  4. D.
    -x-2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈Z)的圖象在[0,+∞)上單調(diào)遞增,解不等式f(x2-x)>f(x+3).

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年河北省高三8月月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若過點A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中設切點為(x0,x03-3x0),因為過點A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依題意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)設切點為(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切線過點A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

畫出草圖知,當-6<m<2時,m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范圍是(-6,2).

 

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