Question

18．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過點C，已知AB=2米，AD=1米．
（1）要使矩形AMPN的面積大于9平方米，則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）當DN的長度為多少時，矩形花壇AMPN的面積最��？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)DN的長為x（x＞0）米，則|AN|=（x+1）米，表示出矩形的面積，利用矩形AMPN的面積大于9平方米，即可求得DN的取值范圍．
（2）化簡矩形的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)DN的長為x（x＞0）米，則|AN|=（x+1）米，
∵$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，∴|AM|=$\frac{2（x+1）}{x}$，∴S_矩形AMPN=|AN|•|AM|=$\frac{2（x+1）^{2}}{x}$．
由S_矩形AMPN＞9得$\frac{2（x+1）^{2}}{x}$＞9，又x＞0得2x²-5x+2＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2…（6分）
即DN的長的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．（單位：米）
（2）因為x＞0，所以矩形花壇的面積為：
y=$\frac{2（x+1）^{2}}{x}$=2x+$\frac{4}{x}$+4≥4+4=8，當且僅當2x=$\frac{4}{x}$，即x=1時，等號成立．…（12分）
答：矩形花壇的面積最小為8平方米．…（13分）

點評 本題考查根據(jù)題設(shè)關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并求出處變量的取值范圍；考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是確定矩形的面積．