Question

4．如圖所示，兩個非共線向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，M，N分別為OA與OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），則x²+y²的最小值為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)共線原理可知x+y=$\frac{1}{2}$，再利用基本不等式即可得出答案．

解答 解：∵M(jìn)，N分別是OA，OB的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=2x$\overrightarrow{OM}$+2y$\overrightarrow{ON}$，
∵M(jìn)，C，N三點(diǎn)共線，
∴2x+2y=1，即x+y=$\frac{1}{2}$，
∴xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=$\frac{1}{4}$-2xy≥$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$=$\frac{1}{8}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的基本定理，不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．