Question

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線x＋y－1＝0與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝.

(1)求拋物線的方程；

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【解析】　(1)設(shè)所求拋物線的方程為y²＝2px(p>0)，

由消去y，

得x²－2(1＋p)x＋1＝0.

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝2(1＋p)，

x₁·x₂＝1.∵|AB|＝，

∴

＝，∴121p²＋242p－48＝0，

∴p＝或－(舍)．

∴拋物線的方程為y²＝x.

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，

則D.

假設(shè)x軸上存在滿足條件的點(diǎn)C(x_0,0)，∵△ABC為正三角形，

∴CD⊥AB，∴x₀＝.

∴C，∴|CD|＝.

又∵|CD|＝|AB|＝，

故矛盾，∴x軸上不存在點(diǎn)C，使△ABC為正三角形．