Question

10．已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1$，且$|{\overrightarrow a+k\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{k\overrightarrow a-\overrightarrow b}|（k＞0）$，令$f（k）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求$f（k）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$（用k表示）；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，$f（k）≥{x^2}-2tx-\frac{5}{2}$對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由${（{\overrightarrow a+k\overrightarrow b}）^2}=3{（{k\overrightarrow a-\overrightarrow b}）^2}$，且$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1$，k＞0，能求出求$f（k）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$（用k表示）．
（2）由題意${x^2}-2tx-\frac{5}{2}≤f（k）{\;}_{min}$對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立，$f（k）{\;}_{min}=\frac{1}{2}$，從而${x^2}-2tx-\frac{5}{2}≤\frac{1}{2}$對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立，g（t）=-2xt+x²-3對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立．由此能求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：（1）由${（{\overrightarrow a+k\overrightarrow b}）^2}=3{（{k\overrightarrow a-\overrightarrow b}）^2}$，
得${\overrightarrow a^2}+2k\overrightarrow a•\overrightarrow b+{k^2}{\overrightarrow b^2}=3（{{k^2}{{\overrightarrow a}^2}-2k\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{\overrightarrow b}^2}}）$
且$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1$，k＞0，
∴$f（k）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{4k}{{{k^2}+1}}$（k＞0）．
（2）∵當(dāng)k＞0時(shí)，$f（k）≥{x^2}-2tx-\frac{5}{2}$對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立，
∴${x^2}-2tx-\frac{5}{2}≤f（k）{\;}_{min}$對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立．
$f（k）=\frac{4k}{{{k^2}+1}}=\frac{4}{{k+\frac{1}{k}}}$（k＞0）．
由雙勾函數(shù)得$k+\frac{1}{k}≥2$，所以$f（k）{\;}_{min}=\frac{1}{2}$
即${x^2}-2tx-\frac{5}{2}≤\frac{1}{2}$對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立．
g（t）=-2xt+x²-3對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立．
故$\left\{\begin{array}{l}g（-2）≤0\\ g（2）≤0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-4x+{x^2}-3≤0\\ 4x+{x^2}-3≤0\end{array}\right.$，
解得$2-\sqrt{7}≤x≤\sqrt{7}-2$，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是[2-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．