(1)求證:AD⊥BC;
(2)求二面角B-AC-D的大小;
(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請說明理由.
(1)證法一:作AH⊥面BCD于H,連結(jié)DH,AB⊥BDHB⊥BD,
∵AD=,BD=1,
∴AB==BC=AC.
∴BD⊥DC.
又BD=CD,則BHCD是正方形,
則DH⊥BC,
∴AD⊥BC.
證法二:取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)AO、DO,
則有AO⊥BC,DO⊥BC.
∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.
(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,
則∠BMN就是二面角BACD的平面角.
∵AB=AC=BC=,
∴M是AC的中點(diǎn),且MN∥CD.
∴BM=,MN=CD=,BN=AD=.
由余弦定理得cos∠BMN=.
∴∠BMN=arccos.
(3)解:設(shè)E為所求的點(diǎn),作EF⊥CH于F,連結(jié)FD,則EF∥AH.
∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED與面BCD所成的角,則∠EDF=30°.
設(shè)EF=x,易得AH=HC=1,則CF=x,FD=1+x2.
∴tan∠EDF=,解得x=,則CE==1.
故線段AC上存在E點(diǎn),且CE=1時(shí),ED與面BCD成30°角.
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