Question

1．如圖1為某市2017年2月28天的日空氣質(zhì)量指數(shù)折線圖．

由中國(guó)空氣質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)分析平臺(tái)提供的空氣質(zhì)量指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)如下：

空氣質(zhì)量指數(shù)	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	300以上
空氣質(zhì)量等級(jí)	1級(jí)優(yōu)	2級(jí)良	3級(jí)輕度污染	4級(jí)中度污染	5級(jí)重度污染	6級(jí)嚴(yán)重污染

（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)所給的折線圖補(bǔ)全如圖2所示的頻率分布直方圖（并用鉛筆涂黑矩形區(qū)域），并估算該市2月份空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（Ⅱ）在該月份中任取兩天，求空氣質(zhì)量至少有一天為優(yōu)或良的概率；
（Ⅲ）如果該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，治理后經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每天的空氣質(zhì)量指數(shù)近似滿足X～N（75，55²），則治理后的空氣質(zhì)量指數(shù)均值大約下降了多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折線圖知空氣質(zhì)量指數(shù)分別為（0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的頻數(shù)分別為2，16，8，2，由此求出各小矩形的高，從而能補(bǔ)全頻率分布直方圖，由此能求出該市2月份空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)值．
（Ⅱ）該月份該市空氣質(zhì)量為優(yōu)的有2天，空氣質(zhì)量為良的有16天，由此能求出任取兩天至少有一天空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的概率．
（Ⅲ）由已知，該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，空氣質(zhì)量的均值為E（X）=75，由此能求出該市治理后的空氣質(zhì)量指數(shù)大約下降了多少．

解答 解：（Ⅰ）由折線圖知空氣質(zhì)量指數(shù)分別為（0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的頻數(shù)分別為2，16，8，2，
∴各組對(duì)應(yīng)的頻率分布為$\frac{1}{14}，\frac{4}{7}，\frac{2}{7}，\frac{1}{14}$，
∴各小矩形的高分別為$\frac{1}{700}，\frac{8}{700}，\frac{4}{700}，\frac{1}{700}$，
∴補(bǔ)全頻率分布直方圖，如下圖：

該市2月份空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)值為：
$\frac{1}{14}×25+\frac{4}{7}×75+\frac{2}{7}×125+\frac{1}{14}×175$≈92.9．
（Ⅱ）該月份該市空氣質(zhì)量為優(yōu)的有2天，空氣質(zhì)量為良的有16天，
則任取兩天至少有一天空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的概率為p=1-$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{28}^{2}}$=$\frac{37}{42}$．
（Ⅲ）由已知，該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，
該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，治理后經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每天的空氣質(zhì)量指數(shù)近似滿足X～N（75，55²），
空氣質(zhì)量的均值為E（X）=75，
92.9-75=17.9，
故該市治理后的空氣質(zhì)量指數(shù)下降了17.9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、折線圖、概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．