【題目】如圖,在三棱錐中,底面,.點、、分別為棱、、的中點,是線段的中點,,.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知點在棱上,且直線與直線所成角的余弦值為,求線段的長.
【答案】(1)見解析;(2);(3)4
【解析】
(1)取中點,連接、,證明平面平面得到答案.
(2)以為原點,分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.
(3)設,則,,,利用夾角公式計算得到答案.
(1)取中點,連接、,∵為中點,∴,
∵平面,平面,∴平面.
∵為中點,∴,
又、分別為、的中點,∴,則.
∵平面,平面,∴平面.
又,平面,平面
∴平面平面,又平面,則平面.
(2)∵底面,.
∴以為原點,分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.
∵,,
∴,,,,,,
則,,設平面的一個法向量為,
由,得,取,得.
由圖可得平面的一個法向量為.
∴.
∴二面角的余弦值為,則正弦值為.
(3)設,則,,.
∵直線與直線所成角的余弦值為,∴.
解得:或(舍).
∴當與重合時直線與直線所成角的余弦值為,此時線段的長為4.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列的首項,數(shù)列前項和記為,前項積記為.
(1) 若,求等比數(shù)列的公比;
(2) 在(1)的條件下,判斷與的大。徊⑶為何值時,取得最大值;
(3) 在(1)的條件下,證明:若數(shù)列中的任意相鄰三項按從小到大排列,則總可以使其成等差數(shù)列;若所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次記為,則數(shù)列為等比數(shù)列.
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【題目】在平面直角坐標系中,為坐標原點,C、D兩點的坐標為,曲線上的動點P滿足.又曲線上的點A、B滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若點A在第一象限,且,求點A的坐標;
(3)求證:原點到直線AB的距離為定值.
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【題目】已知f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)判斷函數(shù)y=f(x)-x在R上的單調性,并加以證明;
(3)設g(x)=log4(a2x-a),若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個交點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】設雙曲線方程為,過其右焦點且斜率不為零的直線與雙曲線交于A,B兩點,直線的方程為,A,B在直線上的射影分別為C,D.
(1)當垂直于x軸,時,求四邊形的面積;
(2),的斜率為正實數(shù),A在第一象限,B在第四象限,試比較與1的大小;
(3)是否存在實數(shù),使得對滿足題意的任意,直線和直線的交點總在軸上,若存在,求出所有的值和此時直線和交點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知數(shù)列,滿足:.
(1)若,求數(shù)列的通項公式;
(2)若,且.
① 記,求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
② 若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次,求首項應滿足的條件.
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【題目】如圖,某市三地A,B,C有直道互通.現(xiàn)甲交警沿路線AB乙交警沿路線ACB同時從A地出發(fā),勻速前往B地進行巡邏,并在B地會合后再去執(zhí)行其他任務.已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡邏速度為5km/h,乙的巡邏速度為10km/h.
(1)求乙到達C地這一時刻的甲乙兩交警之間的距離;
(2)已知交警的對講機的有效通話距離不大于3km,從乙到達C地這一時刻算起,求經(jīng)過多長時間,甲乙方可通過對講機取得聯(lián)系.
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【題目】本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.
從數(shù)列中取出部分項,并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列,稱之為數(shù)列的一個子數(shù)列.
設數(shù)列是一個首項為、公差為的無窮等差數(shù)列.
(1)若,,成等比數(shù)列,求其公比.
(2)若,從數(shù)列中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項,試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列,請說明理由.
(3)若,從數(shù)列中取出第1項、第項(設)作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項,試問當且僅當為何值時,該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列,請說明理由.
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【題目】在一個特定時段內,以點E為中心的7n mile以內海域被設為警戒水域.點E正北55n mile處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40n mile的位置B,經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東(其中,)且與點A相距10n mile的位置C.
(I)求該船的行駛速度(單位:n mile /h);
(II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.
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