【題目】在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1) 取中點為，連接，首先證明平面，然后證明平面即可

(2)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量數(shù)量積求得線面角，最后根據(jù)二次函數(shù)性質求最值.

(1)證明：取中點為，連接.

因為是等邊三角形，所以.

因為平面平面且相交于，所以平面，所以.

因為，所以.

因為，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

（2）以為原點，過作的平行線，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

設，則，，，.

因為在棱上，可設，

所以.

設平面的法向量為，因為，

所以令，可得，即.

設直線與平面所成角為，

所以.

所以可得當時，取最大值；

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某科研團隊對例新冠肺炎確診患者的臨床特征進行了回顧性分析.其中名吸煙患者中，重癥人數(shù)為人，重癥比例約為；名非吸煙患者中，重癥人數(shù)為人，重癥比例為.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表；

（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為新冠肺炎重癥與吸煙有關？

（3）已知每例重癥患者平均治療費用約為萬元，每例輕癥患者平均治療費用約為萬元.根據(jù)（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，分別求吸煙患者和非吸煙患者的平均治療費用.（結果保留兩位小數(shù)）

附：

≥

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【題目】在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊，若把沿邊折疊到的位置，使平面平面．

（1）證明：．

（2）若為棱的中點，求二面角的余弦值．

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【題目】如圖，在三棱錐中，平面ABC，平面平面PBC，，．

（1）證明：平面PBC；

（2）求點C到平面PBA的距離．

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【題目】平行四邊形ABCD中，∠A，2AB＝BC，E，F分別是BC，AD的中點.將四邊形DCEF沿著EF折起，使得平面ABEF⊥平面DCEF，得到三棱柱AFD﹣BEC.

（1）證明：DB⊥EF；

（2）若AB＝2，求三棱柱AFD﹣BEC的體積.

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【題目】2020年新年伊始，新型冠狀病毒來勢洶洶，疫情使得各地學生在寒假結束之后無法返校，教育部就此提出了線上教學和遠程教學，停課不停學的要求也得到了家長們的贊同．各地學校開展各式各樣的線上教學，某地學校為了加強學生愛國教育，擬開設國學課，為了了解學生喜歡國學是否與性別有關，該學校對100名學生進行了問卷調查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡國學

不喜歡國學

合計

男生

20

50

女生

10

合計

100

（1）請將上述列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜歡國學與性別有關系？

（2）針對問卷調查的100名學生，學校決定從喜歡國學的人中按分層抽樣的方法隨機抽取6人成立國學宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，設這兩人中女生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，．

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【題目】某校擬從甲、乙兩名同學中選一人參加疫情知識問答競賽，于是抽取了甲、乙兩人最近同時參加校內競賽的十次成績，將統(tǒng)計情況繪制成如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下面結論正確的是（ ）

A.甲、乙成績的中位數(shù)均為7

B.乙的成績的平均分為6.8

C.甲從第四次到第六次成績的下降速率要大于乙從第四次到第五次的下降速率

D.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

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【題目】如圖1為某省2018年1~4月快遞業(yè)務量統(tǒng)計圖，圖2是該省2018年1~4月快遞業(yè)務收入統(tǒng)計圖，下列對統(tǒng)計圖理解錯誤的是（ ）

A. 2018年1~4月的業(yè)務量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件

B. 2018年1~4月的業(yè)務量同比增長率均超過50%，在3月底最高

C. 從兩圖來看，2018年1~4月中的同一個月的快遞業(yè)務量與收入的同比增長率并不完全一致

D. 從1~4月來看，該省在2018年快遞業(yè)務收入同比增長率逐月增長

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，與相交于點，點在線段上，．

（1）求證：平面；

（2）若，求點到平面的距離．

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