Question

19．從拋物線y²=32x上各點(diǎn)向x軸作垂線，其垂線段中點(diǎn)的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=k（x-2）（k＞0）與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設(shè)出垂線段的中點(diǎn)為M（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，把它們坐標(biāo)之間的關(guān)系找出來，代入拋物線的方程即可；
（Ⅱ）根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義即條件，求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求出弦AB的長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)垂線段的中點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，D（x₀，0），
因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，所以x₀=x，y=$\frac{1}{2}$y₀，
有x₀=x，y₀=2y，
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以y₀²=32x，即4y²=32x，
所以y²=8x，所求點(diǎn)M軌跡方程為：y²=8x．
（Ⅱ）拋物線y²=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線方程為x=-2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵|AF|=2|BF|，∴x₁+1=2（x₂+1），∴x₁=2x₂+1
∵|y₁|=2|y₂|，∴x₁=4x₂，∴x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{5}{2}$+4=$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求軌跡方程的方法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵，屬于中檔題．