如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，，B、D在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對稱，在邊上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過A、D兩點(diǎn)．

⑴ 求雙曲線的方程；
⑵ 若一過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

(1)  (2)在軸上存在定點(diǎn)，使．

解析試題分析：(1) 設(shè)雙曲線的方程為，則．
由，得，即．
∴      3分
解之得，∴．
∴雙曲線的方程為． 5分
(2) 設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使．
設(shè)直線的方程為，．
由，得．
即         ①  6分
∵，，
∴．
即． ②  8分
把①代入②，得  ③  9分
把代入并整理得
其中且，即且．
．   10分
代入③，得，化簡得 ．當(dāng)時，上式恒成立．
因此，在軸上存在定點(diǎn)，使．  13分
考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線的方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
點(diǎn)評：難題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（1）求雙曲線方程時，應(yīng)用了雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)，難度不大，較為典型。（2）則在應(yīng)用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上，通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，達(dá)到證明目的。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，
上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸相交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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已知橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)，，且與橢圓相切于點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，使得?若存在，試求出直線的方程；若不存在,請說明理由.

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已知橢圓:的離心率為,過右焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求直線的斜率；
(2)求證:對于橢圓上的任意一點(diǎn),都存在,使得成立.

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如圖，F1，F2是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1 : 3．設(shè)A，B是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 求的取值范圍．

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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn).
(1) 求橢圓的方程；
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P，曲線C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)）。以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為。
（1）判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系，說明理由；
（2）設(shè)直線l與直線C的兩個交點(diǎn)為A、B，求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn).
（1）求線段的長；（2）若拋物線的焦點(diǎn)為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示的曲線是由部分拋物線和曲線“合成”的，直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，其中．

（1）當(dāng)時，求的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時，？并求出此時直線的方程．

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