8、已知數(shù)列A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性質(zhì)P:對任意i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項、現(xiàn)給出以下四個命題:①數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)P;②數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P;③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則a1=0;④若數(shù)列a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性質(zhì)P,則a1+a3=2a2,其中真命題有( 。
分析:根據(jù)數(shù)列A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性質(zhì)P:對任意i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項,逐一驗證,可知①錯誤,其余都正確.
解答:解:∵對任意i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的項,
①數(shù)列0,1,3中,a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是該數(shù)列中的數(shù),故①不正確;
②數(shù)列0,2,4,6,aj+ai與aj-ai(1≤i≤j≤3)兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項,并且a4-a3=2是該數(shù)列中的項,故②正確;
③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則an+an=2an與an-an=0兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項,
∵0≤a1<a2<…<an,n≥3,
而2an不是該數(shù)列中的項,∴0是該數(shù)列中的項,
∴a1=0;故③正確;
④∵數(shù)列a1,a2,a3具有性質(zhì)P,0≤a1<a2<a3
∴a1+a3與a3-a1至少有一個是該數(shù)列中的一項,且a1=0,
1°若a1+a3是該數(shù)列中的一項,則a1+a3=a3,
∴a1=0,易知a2+a3不是該數(shù)列的項
∴a3-a2=a2,∴a1+a3=2a2
2°若a3-a1是該數(shù)列中的一項,則a3-a1=a1或a2或a3
①若a3-a1=a3同1°,
②若a3-a1=a2,則a3=a2,與a2<a3矛盾,
③a3-a1=a1,則a3=2a1
綜上a1+a3=2a2,
故選B.
點(diǎn)評:考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,此題能很好的考查學(xué)生的應(yīng)用知識分析、解決問題的能力,側(cè)重于對能力的考查,屬中檔題.
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①數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)P;
②數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P;
③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則a1=0;
④若數(shù)列a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性質(zhì)P,則a1+a3=2a2
其中真命題有
②③④

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①數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P;
②若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則a1=0;
③若數(shù)列A具有性質(zhì)P且a1≠0an-an-k=ak(k=1,2,…,(n-1);
④若數(shù)列a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性質(zhì)P,則a3=a1+a2
其中真命題有( 。

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