Question

12．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，BC=1，AA₁=$\sqrt{3}$．
（1）求證：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連結(jié)DG．推導(dǎo)出DG∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面A₁DC．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥A₁C交A₁C于F，連結(jié)EF，推導(dǎo)出∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角．由此能求出二面角D-A₁C-A的平面角的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連結(jié)DG．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴AG=GC₁．
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁．…（2分）
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．…（4分）
解：（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E，
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥A₁C交A₁C于F，連結(jié)EF，
∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，DE?平面ABC，
平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
∴DE⊥平面ACC₁A₁，
∴EF是DF在平面ACC₁A₁內(nèi)的射影，
∴EF⊥A₁C
∴∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角．
在直角三角形ADC中，$DE=\frac{AD•DC}{AC}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
同理可求：$DF=\frac{{{A_1}D•DC}}{{{A_1}C}}=\frac{{\sqrt{39}}}{8}$．
∴$sinDFE=\frac{DE}{DF}=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的平面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．