Question

等比數列{a_n}中，a₂＞a₃=1，則使不等式 （a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+（a3+

1

a3

）+…+（an-

1

an

）＞0成立的最大自然數n是

 

．

Answer 1

考點：等比數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：設等比數列{a_n}的公比為q，由題意判斷出q＜1，根據等比數列的求和公式表示出不等式的左邊，化簡后得關于n的不等式，由q的范圍求出n的范圍，再求出對應的最大值．

解答： 解：設等比數列{a_n}的公比為q，
由a₂＞a₃=1得，a1q2=1，解得a1=

1

q2

，且q＜1，
所以（a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+（a3+

1

a3

）+…+（an-

1

an

）
=

a1(1-qn)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qn )

1- 1 q

=

1 q2 (1-qn)

1-q

-

q2(1- 1 qn )

1- 1 q

=

(1-qn)

1-q

（

1

q2

-

1

qn-3

），
因為q＜1，所以

(1-qn)

1-q

＞0，
因為不等式（a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+（a3+

1

a3

）+…+（an-

1

an

）＞0，
所以

1

q2

-

1

qn-3

＞0，則

1

q2

＞

1

qn-3

，即q²＜q^n-3，
所以n-3＜2，解得n＜5，則不等式成立的最大自然數n是4，
故答案為：4．

點評：本題考查等比數列的求和公式，涉及利用指數函數的性質求解指數不等式，考查化簡計算能力，屬中檔題．