Question

16．近年來鄭州空氣污染較為嚴重，現(xiàn)隨機抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣中PM2.5指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：

PM2.5	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空氣質(zhì)量	優(yōu)	良	輕微污染	輕度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天數(shù)	4	13	18	30	9	11	15

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失為S（單位：元），PM2.5指數(shù)為x．當x在區(qū)間[0，100]內(nèi)時對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟損失；當x在區(qū)間（100，300]內(nèi)時對企業(yè)造成經(jīng)濟損失成直線模型（當PM2.5指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟損失為500元，當PM2.5指數(shù)為200時，造成的經(jīng)濟損失為700元）；當PM2.5指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟損失為2000元．
（1）試寫出S（x）的表達式；
（2）試估計在本年內(nèi)隨機抽取一天，該天經(jīng)濟損失S大于500元且不超過900元的概率；
（3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)？
附：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	1.32	2.07	2.70	3.74	5.02	6.63	7.87	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

	非重度污染	重度污染	合計
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合計	85	15	100

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在區(qū)間[0，100]對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟損失；在區(qū)間（100，300]對企業(yè)造成經(jīng)濟損失成直線模型（當PM2.5指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟損失為500元，當PM2.5指數(shù)為200時，造成的經(jīng)濟損失為700元）；當PM2.5指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟損失為2000元，可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，頻數(shù)為39，即可求出概率；
（3）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的觀測值的公式，代入數(shù)據(jù)做出觀測值，同臨界值進行比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)在區(qū)間[0，100]對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟損失；在區(qū)間（100，300]對企業(yè)造成經(jīng)濟損失成直線模型（當PM2.5指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟損失為500元，當PM2.5指數(shù)為200時，造成的經(jīng)濟損失為700元）；當PM2.5指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟損失為2000元，可得：$S（x）=\left\{\begin{array}{l}0，x∈[{0，100}]\\ 4x-100，x∈（100，300]\\ 2\;000，x∈（300，+∞）.\end{array}\right.$
（2）設(shè)“在本年內(nèi)隨機抽取一天，該天經(jīng)濟損失S大于200元且不超過600元”為事件A，
由200＜S≤600，得150＜w≤250，頻數(shù)為39，$P（A）=\frac{39}{100}$，
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：

	非重度污染	重度污染	合計
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合計	85	15	100

K²的觀測值$k=\frac{{100×{{（63×8-22×7）}^2}}}{85×15×30×70}≈4.575＞3.841$，
所以有95%的把握認為空氣重度污染與供暖有關(guān)．

點評 本題考查概率知識，考查列聯(lián)表，觀測值的求法，是一個獨立性檢驗，我們可以利用臨界值的大小來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)，若值較大就拒絕假設(shè)，即拒絕兩個事件無關(guān)．