Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，則使得f（x）＞f（2x-3）成立的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）∪（3，+∞）
• B． （-∞，3）
• C． （1，3）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 由題意和函數(shù)奇偶性的定義，判斷出函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，由基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并由偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性，等價轉(zhuǎn)化不等式，由絕對值不等式的解法求出不等式的解集．

解答 解：由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是R，
且f（-x）=ln（1+|-x|）-$\frac{1}{1+{（-x）}^{2}}$=f（x），
則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
所以f（x）＞f（2x-3）等價于f（|x|）＞f（|2x-3|），
因為函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在（0，∞）上遞增，
所以|x|＞|2x-3|，解得1＜x＜3，
則不等式的解集是（1，3），
故選C．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的定義，基本初等函數(shù)的單調(diào)性，以及絕對值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．