Question

 已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點在直線上.數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*),且b₃=11,前9項和為153.

(1)求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；

（2）設c_n=3(2a_n-11)(2b_n-1),數列{c_n}的前n項和為T_n,求使不等式T_n>對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值.

Answer 1

解（1）由已知得：，所以S_n=.

當n≥2時，

a_n=S_n-S_n-1==n+5,

當n=1時，a₁=S₁=6也符合上式.

所以a_n=n+5(n∈N^*).

由b_n+2-2b_n+1+b_n=0(n∈N^*)知{b_n}是等差數列.

由{b_n}的前9項和為153，可得：，

求得b₅=17,又b₃=11,

所以{b_n}的公差,首項b₁=5,所以b_n=3n+2.

(2)

所以

因為n增大，T_n增大，所以{T_n}是遞增數列，

所以T_n≥T₁=.

T_n>對一切n∈N^*都成立，只要T₁=>,

所以k<19,則k_max=18.

即使不等式T_n>對一切n∈N^*都成立的最大正整數為18.