A、B是拋物線C:y2=2px(p>0)上的兩個動點(diǎn),F(xiàn)是焦點(diǎn),直線AB不垂直于x軸且交x軸于點(diǎn)D.
(1)若D與F重合,且直線AB的傾斜角為
π
4
,求證:
OA
OB
p2
是常數(shù)(O是坐標(biāo)原點(diǎn));
(2)若|AF|+|BF|=8,線段AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)Q(6,0),求拋物線C的方程.
分析:(1)由題知:F(
p
2
,0)
,直線AB的斜率為1,直線AB的方程為y=x-
p
2
,聯(lián)立
y=x-
p
2
y2=2px
,得:y2-2py-p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理能夠求出
OA
OB
p2
是常數(shù).
(2)由拋物線的定義,知:|AF|+|BF|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p=8
,所以x1+x2=8-p.由點(diǎn)Q(6,0)在線段AB的垂直平分線上,知|QA|=|QB|,由此能求出拋物線的方程.
解答:解:(1)由題知:F(
p
2
,0)
,直線AB的斜率為1
故直線AB的方程為y=x-
p
2
…(1分)
聯(lián)立
y=x-
p
2
y2=2px
,得:y2-2py-p2=0…(2分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
y1+y2=2p
y1y2=-p2

x1x2=
y12
2p
y22
2p
=
(y1y2)2
4p2
=
(-p2)2
4p2
=
p2
4
…(4分)
OA
OB
p2
=
x1x2+y1y2
p2
=
p2
4
-p2
p2
=-
3
4
故:
OA
OB
p2
是常數(shù)        …(6分)
(2)由拋物線的定義,易知:|AF|+|BF|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p=8

∴x1+x2=8-p…(7分)
∵點(diǎn)Q(6,0)在線段AB的垂直平分線上∴|QA|=|QB|
即:(x1-6)2+y12=(x2-6)2+y22…(8分)
又y12=2px1,y22=2px2∴(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2
整理得:(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0…(10分)
∵x1≠x2∴x1+x2-12+2p=0即:x1+x2=12-2p=8-p
解得:p=4∴拋物線的方程為y2=8x…(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•韶關(guān)二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a>1)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,拋物線C:y2=2px以F2為焦點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2),點(diǎn)M在x軸上方,直線F1M與拋物線C相切.
(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(2)設(shè)A,B是拋物線C上兩動點(diǎn),如果直線MA,MB與y軸分別交于點(diǎn)P,Q.△MPQ是以MP,MQ為腰的等腰三角形,探究直線AB的斜率是否為定值?若是求出這個定值,若不是說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•韶關(guān)二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
(a>1)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,拋物線C:y2=2px以F2為焦點(diǎn).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A、B是拋物線C上兩動點(diǎn),過點(diǎn)M(1,2)的直線MA,MB與y軸交于點(diǎn)P、Q.△MPQ是以MP、MQ為腰的等腰三角形,探究直線AB的斜率是否為定值?若是求出這個定值,若不是說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:韶關(guān)二模 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a>1)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,拋物線C:y2=2px以F2為焦點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2),點(diǎn)M在x軸上方,直線F1M與拋物線C相切.
(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(2)設(shè)A,B是拋物線C上兩動點(diǎn),如果直線MA,MB與y軸分別交于點(diǎn)P,Q.△MPQ是以MP,MQ為腰的等腰三角形,探究直線AB的斜率是否為定值?若是求出這個定值,若不是說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:《圓錐曲線》2013年廣東省十二大市高三二模數(shù)學(xué)試卷匯編(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓+=1(a>1)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,拋物線C:y2=2px以F2為焦點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2),點(diǎn)M在x軸上方,直線F1M與拋物線C相切.
(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(2)設(shè)A,B是拋物線C上兩動點(diǎn),如果直線MA,MB與y軸分別交于點(diǎn)P,Q.△MPQ是以MP,MQ為腰的等腰三角形,探究直線AB的斜率是否為定值?若是求出這個定值,若不是說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年廣東省韶關(guān)市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓+=1(a>1)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,拋物線C:y2=2px以F2為焦點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2),點(diǎn)M在x軸上方,直線F1M與拋物線C相切.
(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(2)設(shè)A,B是拋物線C上兩動點(diǎn),如果直線MA,MB與y軸分別交于點(diǎn)P,Q.△MPQ是以MP,MQ為腰的等腰三角形,探究直線AB的斜率是否為定值?若是求出這個定值,若不是說明理由.

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