有4個(gè)不同的球,四個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi).
(1)共有多少種放法?
(2)恰有一個(gè)盒子不放球,有多少種放法?
(3)恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球,有多少種放法?
(4)恰有兩個(gè)盒不放球,有多少種放法?
(1)256(2)144(3)144(4)84

試題分析:(1)一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去,每只球都可有4種獨(dú)立的放法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,放法共有:種.
(2)為保證“恰有一個(gè)盒子不放球”,先從四個(gè)盒子中任意拿出去1個(gè),即將4個(gè)球分成2,1,1的三組,有種分法;然后再?gòu)娜齻(gè)盒子中選一個(gè)放兩個(gè)球,其余兩個(gè)球,兩個(gè)盒子,全排列即可.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有放法:種.
(3)“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”,即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒.因此,“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事.故也有144種放法.
(4)先從四個(gè)盒子中任意拿走兩個(gè)有種,問題轉(zhuǎn)化為:“4個(gè)球,兩個(gè)盒子,每盒必放球,有幾種放法?”從放球數(shù)目看,可分為(3,1),(2,2)兩類.第一類:可從4個(gè)球中先選3個(gè),然后放入指定的一個(gè)盒子中即可,有種放法;第二類:有種放法.因此共有種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得“恰有兩個(gè)盒子不放球”的放法有:種.
點(diǎn)評(píng):兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決這類問題的基礎(chǔ),而排列組合的準(zhǔn)確靈活應(yīng)用是解決這類問題的關(guān)鍵,要分清是排列問題還是組合問題,是分類還是分步,要堅(jiān)持特殊元素優(yōu)先和特殊位置優(yōu)先的原則.
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