Question

△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若bcosA=

2

a，則

a

c

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：利用正弦定理把已知等式中的邊換成角的正弦化簡后，代入sinC的表達式，進而根據(jù)正弦定理把

a

c

的范圍，轉化為

sinA

sinC

的范圍，利用cosB的有界性求得答案．

解答： 解：△ABC中，根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

知，

a

c

=

sinA

sinC

，
∵bcosA=

2

a，
∴sinBcosA=

2

sinA，
又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=sinAcosB+

2

sinA，
∴

a

c

=

sinA

sinC

=

sinA

sinAsinB+ 2 sinA

=

1

cosB+ 2

，
∵∠B∈（0，π），
∴-1＜cosB＜1，
∴

2

-1＜cosB+

2

＜1+

2

，
∴

1

2 -1

＞

1

cosB+ 2

＞

1

2 +1

，
∴

2

-1＜

a

c

＜

2

+1，
故答案為：（

2

-1，

2

+1）．

點評：本題主要考查了正弦定理的運用．在涉及三角形中范圍的問題，往往需要利用正弦定理轉化成角的問題，進而利用三角函數(shù)的性質解決問題．