【題目】如圖，在棱長為的正方形中，、分別為，邊上的中點，現(xiàn)將點以為軸旋轉(zhuǎn)至點的位置，使得為直二面角．

（1）證明：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意畫出平面圖形及空間幾何圖形，由中位線定理及正方形性質(zhì)證明面，即可得.

（2）．過作，以OA，OB，OM為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，即可由平面向量數(shù)量積定義求得異面直線與所成角的余弦值．

（1）證明：在正方形中，連結(jié)交于．連結(jié)，如下圖所示：

則．

因為、分別為，邊上的中點，

所以．

所以．

在空間幾何體中如下圖所示：

所以在棱錐中，，，

所以面，

又因為面，

所以．

（2）設．過作，已知OA，OB，OM兩兩垂直，

如圖分別以OA，OB，OM為，，軸建立空間直角坐標系如下圖所示：

，，，，，

，，

，

所以與面所成角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于非負整數(shù)集合（非空），若對任意，或者，或者，則稱為一個好集合．以下記為的元素個數(shù)．

（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結(jié)論即可）

（2）求出所有滿足的好集合．（同時說明理由）

（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的焦距為2，左頂點與上頂點連線的斜率為．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過點P（m，0）作圓x2+y2＝1的一條切線l交橢圓C于M，N兩點，當|MN|的值最大時，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求在上的最小值；

（2）若直線是函數(shù)的切線方程，求實數(shù)的值；

（3）若，證明：對任意實數(shù)，恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，其中的“更相減損術”原文是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也以等數(shù)約之”即（如果需要對分數(shù)進行約分，那么）可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）．如果不可以折半的話，那么就比較分母和分子的大小，用大數(shù)減去小數(shù)，互相減來減去，一直到減數(shù)與差相等為止，用這個相等的數(shù)字來約分．如圖是“更相減損術”的程序框圖，如果輸入，，則輸出的值是（ ）

A.72B.70C.34D.36

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

組別

男

2

3

5

15

18

12

女

0

5

10

10

7

13

(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”，請完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關？

(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”．視頻率為概率．

①在我市所有“環(huán)保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率；

②為了鼓勵市民關注環(huán)保，針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：

紅包金額（單位：元）

10

20

概率

現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學期望．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在與時都取得極值．

（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對,不等式恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】四棱錐中，面，底面為菱形，且有，，，為中點．

（1）證明：面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

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【題目】政府為了穩(wěn)定房價，決定建造批保障房供給社會，計劃用萬的價格購得一塊建房用地，在該土地上建幢樓房供使用，每幢樓的樓層數(shù)相同且每層建套每套平方米，經(jīng)測算第層每平方米的建筑造價(元)與滿足關系式(其中為整數(shù)且被整除) ，根據(jù)某工程師的個人測算可知，該小區(qū)只有每幢建層時每平方米平均綜合費用才達到最低，其中每平方米.

(1)求的值；

(2)為使該小區(qū)平均每平方米的平均綜合費用控制在元以內(nèi)，每幢至少建幾層?至多造幾層?

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