Question

設(shè)函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)的最大值；
（2）令其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值.

Answer 1

（1）函數(shù)的最大值為；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）.

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值；（2）先求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立的問題來處理，利用二次函數(shù)的最值的求法求的最大值，從而得到實數(shù)的取值范圍；（3）將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域上只有一個零點來處理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，利用極值與最值的關(guān)系求出正數(shù)的值.
試題解析：（1）依題意，知的定義域為，
當時，，      2分
令，解得
因為有唯一解，所以，當時，，此時單調(diào)遞增；
當時，，此時單調(diào)遞減。
所以的極大值為，此即為最大值        4分
（2），則有在上恒成立，
∴≥，             
當時，取得最大值，所以≥     8分
（3）因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，
設(shè)，則令，
因為所以（舍去），，
當時，，在上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，
當時，，取最小值.     10分
則 即 
所以因為所以     12分
設(shè)函數(shù)，因為當時，是增函數(shù)，所以至多有一解.
∵，∴方程(*)的解為，即，解得   14分