已知f（x）=．
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x）的解析式及其定義域；
（2）判斷函數(shù)f-1（x）在其定義域上的單調(diào)性并加以證明；
（3）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求a的取值范圍．
【答案】分析：（1）將x，y互換，解得y即可．
（2）用單調(diào)性定義證明，先任取兩變量，界定大小，再作差變形看符號(hào)．
（3）將反函數(shù)代入，整理為不等式恒成立求解，注意討論．
解答：解：（1）令y=x，則有x=
解得：；（4分）
（2）設(shè)0＜x1＜x2＜1，則
==
由0＜x1＜x2＜1，有所以f-1（x1）-f-1（x2）＜0，即函數(shù)f-1（x）在其定義域上的單調(diào)遞增．（8分）
（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
即不等式恒成立
當(dāng)1+a＞0即a＞-1時(shí)，原命題等價(jià)于恒成立，由
所以，從而得
當(dāng)1+a=0即a=-1時(shí)，不等式不成立
當(dāng)1+a＜0即a＜-1時(shí)，原命題等價(jià)于恒成立，
由所以，又a＜-1，所以a不存在．綜上可得：．（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查如何求函數(shù)的反函數(shù)，單調(diào)性定義證明及不等式恒成立問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時(shí)，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）證明函數(shù)a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函數(shù)；
（2）解不等式：f（
1
x-1
）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'（x）=0，任意x=-
1
2
恒成立，求實(shí)數(shù)x=1的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=2，任取a、b∈[-1，1]，a+b≠0，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0成立
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并說明理由；     
（2）解不等式f（x）＜f(
1
x+1
)
（3）若f（x）≤2m2-2am+3對所有的m∈[0，3]恒成立，求a的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=2cos2x+asin2x+b-1（a＞0）的最大值比最小值大4．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x∈[0，
π2
]時(shí)，|f（x）|≤3恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•崇文區(qū)二模）已知f（x）=x2+2xf′（1），則f′（1）等于（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案