【題目】（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明： 在區(qū)間上恰有個零點．

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時， ，求出的值可得切點坐標，求出的值可得切線斜率，由點斜式可得曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)．由 ，得 ．根據(jù)零點存在定理可得存在唯一的， 使得 ， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．可證明，從而可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，

所以 ．

因為 ， ，

所以曲線在點處的切線方程為．

（Ⅱ）．

由 ，得 ．

因為 ，所以．

當 時， 由 ， 得 ．

所以 存在唯一的， 使得 ．

與在區(qū)間上的情況如下：

↗

極大值

↘

所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

因為 ，

且 ，

所以 在區(qū)間上恰有2個零點．

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(導(dǎo)學(xué)號：05856312)[選修4－5：不等式選講]

已知函數(shù)f(x)＝|x－m|－2|x－1|(m∈R)．

(Ⅰ)當m＝3時，求函數(shù)f(x)的最大值；

(Ⅱ)解關(guān)于x的不等式f(x)≥0.

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【題目】如圖，已知拋物線的焦點為，橢圓的中心在原點，為其右焦點，點為曲線和在第一象限的交點，且．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)為拋物線上的兩個動點，且使得線段的中點在直線上，

為定點，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】老師在四個不同的盒子里面放了4張不同的撲克牌，分別是紅桃，梅花，方片以及黑桃，讓明、小紅、小張、小李四個人進行猜測：

小明說：第1個盒子里面放的是梅花，第3個盒子里面放的是方片；

小紅說：第2個盒子里面飯的是梅花，第3個盒子里放的是黑桃；

小張說：第4個盒子里面放的是黑桃，第2個盒子里面放的是方片；

小李說：第4個盒子里面放的是紅桃，第3個盒子里面放的是方片；

老師說：“小明、小紅、小張、小李，你們都只說對了一半．”則可以推測，第4個盒子里裝的是（ ）

A. 紅桃或黑桃 B. 紅桃或梅花

C. 黑桃或方片 D. 黑桃或梅花

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐中, 平面， ，點分別為的中點，設(shè)直線與平面交于點.

（1）已知平面平面，求證： .

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(－∞，＋∞)上且以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用Ik表示區(qū)間(2k－1,2k＋1)，已知當x∈I0時，f(x)＝x2.求f(x)在Ik上的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若對任意，不等式的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)＝0，當x>0時，

f(x)＝.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直角梯形中， ， ， ， 、分別是邊、上的點，且，沿將折起并連接成如圖的多面體，折后．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若折后直線與平面所成角的正弦值是，求證：平面平面．

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