Question

已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），常數(shù)k＜0，且k＜0，且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2）
（1）求f（-1），f（2.5）；
（2）若k=-2，寫出f（x）在[-3，3]上得表達(dá)式，并討論函數(shù)f（x）在[-3，3]上得單調(diào)性；
（3）求f（x）在[-3，3]上得最小值和最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=kf（1），由 f（0.5）=k f（2.5），得到f（2.5）=

1

k

f（0.5）=

1

k

（0.5-2）•0.5．
（2）有條件可得f（x）=

1

k

f（x-2），當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，-3≤x＜-2時(shí)，分別求出f（x）的解析式，從而得到f（x）在在[-3，3]上的表達(dá)式，通過表達(dá)式研究單調(diào)性．
（3）由（2）中函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性可知，在x=-3或x=1處取最小值，在x=-1或x=3處取最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=kf（x+2），且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2）
∴f（-1）=kf（1）=k×1×（1-2）=-k
f（2.5）=

f(0.5)

k

=

0.5×(0.5-2)

k

=-

3

4k

（2）對任意實(shí)數(shù)x，f（x）=kf（x+2），
∴f（x-2）=kf（x），
∴f（x）=

1

k

f（x-2）．
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
當(dāng)-3≤x＜-2時(shí)，-1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）
故f（x）=

k2(x+2)(x+4)        -3≤x＜-2 kx(x+2)                     -2≤x＜0 x(x-2)                         0≤x＜2 1 k (x-2)(x-4)              2≤x≤3

∵k=-2
∴f（x）在[-3，-1]和[1，3]上單調(diào)遞增，在[-1，1]單調(diào)遞減；
（3）由（2）中函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性可知，
f（x）在x=-3或x=1處取最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3處取最大值f（-1）=-k或f（3）=-

1

k

，
故有：
①k＜-1時(shí)，f（x）在x=-3處取最小值f（-3）=-k2，在x=-1處取最大值f（-1）=-k；
②k=-1時(shí)，f（x）在x=-3與x=1處取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1與x=3處取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0時(shí)，f（x）在x=1處取最小值f（1）=-1，在x=3處取最大值f（3）=-

1

k

．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了換元的思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想，求f（x）在[-3，3]上的表達(dá)式是本題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)．