已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,實(shí)軸長為8,離心率e=
2
,過雙曲線的弦AB被點(diǎn)P(4,2)平分;
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求弦AB所在直線方程;
(3)求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積.
分析:(1)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1
.實(shí)軸長為8,離心率e=
2
,由此能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k(x-4),A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2).k=
y1-y2
x1-x2
,故
y12-y22
16
-
x12-x22
16
=0
,
(y1-y2)(y1+y2)
16
-
(x1-x2)(x1+x2)
16
=0
,由此能導(dǎo)出弦AB所在直線方程.
(3)等軸雙曲線
y2
16
-
x2
16
=1
的漸近線方程為y=±x.直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形.又漸近線與弦AB所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,6),(2,-2),由此能求出直線AB與漸近線所圍成三角形的面積.
解答:解:(1)∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1

∵實(shí)軸長為8,離心率e=
2
,∴a=4,c=4
2
,∴b2=c2-a2=16.
或∵實(shí)軸長為8,離心率e=
2
,
∴雙曲線為等軸雙曲線,a=b=4.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
16
-
x2
16
=1

(2)設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k(x-4),A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2).
k=
y1-y2
x1-x2
,
x1+x2
2
=4,
y1+y2
2
=2
;
y12
16
-
x12
16
=1  
y22
16
-
x22
16
=1
?
y12-y22
16
-
x12-x22
16
=0
?
(y1-y2)(y1+y2)
16
-
(x1-x2)(x1+x2)
16
=0

代入x1+x2=8,y1+y2=4,
(y1-y2)×4
16
-
(x1-x2)×8
16
=0
,
y1-y2
x1-x2
×
1
4
-
1
2
=0
,
1
4
k-
1
2
=0
,
∴k=2;
所以弦AB所在直線方程為y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.
(3)等軸雙曲線
y2
16
-
x2
16
=1
的漸近線方程為y=±x.
∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形.
又漸近線與弦AB所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,6),(2,-2),
∴直角三角形兩條直角邊的長度分別為6
2
2
2
;
∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積S=
1
2
×6
2
×2
2
=12
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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A.=1                         B.=1

C.                          D.

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C.=1                             D.=-1

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