Question

對(duì)于k∈N^*，g（k）表示k的最大奇數(shù)因子，如：g（3）=3，g（20）=5，設(shè)S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），則S_n=______．

Answer 1

依題意，S₁=g（1）+g（2）=1+1=2；
S₂=S₁+g（3）+g（4）=2+3+1=6；
S₃=S₂+g（5）…+g（8）=6+5+3+7+1=22，
S₄=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（16）
=S₃+g（9）+g（10）+g（11）+…+g（16）
=22+9+5+11+3+13+7+15+1
=86．
…
∵b₁=S₂-S₁=4，b₂=S₃-S₂=16，b₃=S₄-S₃=86-22=64，…
∴{b_n}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=4×4^n-1=4ⁿ，
即S_n+1-S_n=4ⁿ．
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=4^n-1+4^n-2+…+4¹+2
=

4(1-4n-1)

1-4

+2
=

4n+2

3

．
故答案為：

4n+2

3

．