曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（2，0）的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是y=
3
x．線段PQ是過曲線C右焦點(diǎn)F的一條弦，R是弦PQ的中點(diǎn)．
（I）求曲線C的方程；
（II）當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動時，求點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離的最小值．
（I）設(shè)曲線C的方程為
x2
λ
+
y2
3λ
+1(x≥
λ
，λ＞0)，
∵λ+3λ=4，解得λ=1．
故所求曲線C的方程是x2-
y2
3
=1(x≥1)…（5分）
（II）當(dāng)弦PQ的斜率存在時，則弦PQ的方程為y=k（x-2），
代入曲線C的方程得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
設(shè)點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），
由
16k4+4(3-k2)(-4k2-3)＞0
x1+x2=-
4k2
3-k2
＞0
x1x2=-
4k2+3
3-k2
＞0
?k2＞3…（9分）
點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離|xR|=|
x1+x2
2
|=
2k2
k2-3
=2+
6
k2-3
＞2．…（12分）
當(dāng)弦PQ的斜率不存在時，
點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離|xR|=2，…（13分）
點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離的最小值為2．…（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)直線l：y=kx+m與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，M、N是直線l上兩點(diǎn)且
AM
=
MN
=
NB
，曲線C過點(diǎn)M、N．
（1）若曲線C的方程是x2+y2=20，求直線l的方程；
（2）若曲線C是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓且離心率e∈(0，
3
2
)，求直線l斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，已知它的右準(zhǔn)線方程為l：x=
1
2
，一條漸近線方程是y=
3
x，線段PQ是過曲線C右焦點(diǎn)F的一條弦，R是弦PQ的中點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動時，求點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離的最小值；
（3）若在直線l的左側(cè)能作出直線m：x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足
PS
•
QS
=0．當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動時，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（2，0）的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是y=
3
x．線段PQ是過曲線C右焦點(diǎn)F的一條弦，R是弦PQ的中點(diǎn)．
（I）求曲線C的方程；
（II）當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動時，求點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•寧波模擬）曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(
5
，0)的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是y=
1
2
x．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點(diǎn)E（2，0），若直線l與曲線C交于不同于點(diǎn)E的P，R兩點(diǎn)，且
EP
•
ER
=0，求證：直線l過一個定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（12分）曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，已知它的一個焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），一條漸進(jìn)線的方程為，過焦點(diǎn)F作直線交曲線C的右支于P．Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn)。

  （Ⅰ）求曲線C的方程；

  （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在曲線C右支上運(yùn)動時，求點(diǎn)R到軸距離的最小值；

  （Ⅲ）若在軸在左側(cè)能作出直線，使以線段pQ為直徑的圓與直線L相切，求m的取值范圍。

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