Question

4．在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的極坐標方程為ρ²（1+sin²θ）=8．
（1）求曲線C₁和C₂的普通方程；
（2）若曲線C₁和C₂交于兩點A，B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₂的極坐標方程l轉(zhuǎn)化為ρ²+ρ²sin²θ=8，由此能求出曲線C₂的直角坐標方程，曲線C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出曲線C₁的普通方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得3x²-12x+10=0，由此利用韋達定理、弦長公式能求出|AB|的值．

解答 解：（1）∵曲線C₂的極坐標方程為ρ²（1+sin²θ）=8，
即ρ²+ρ²sin²θ=8，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x²+2y²=8．
∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴曲線C₁消去參數(shù)t，得曲線C₁的普通方程為y=x-3．
（2）若曲線C₁和C₂交于兩點A，B，則設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y，得x²+2（x-3）²=8，
整理，得3x²-12x+10=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查曲線的普通方程的求法，考查弦長的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．