已知函數(shù),其中是實(shí)數(shù),設(shè)為該函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn),且.

⑴指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,且,求的最小值;

⑶若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)重合,求的取值范圍.

 

【答案】

(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2)1;(3)

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)知,分段函數(shù)時(shí)是二次函數(shù)的一部分,有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間:增區(qū)間,減區(qū)間,時(shí)是對(duì)數(shù)函數(shù),只有一個(gè)單調(diào)增區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)圖象來(lái)講,它在某點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于該函數(shù)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),故有,由于,兩點(diǎn)在軸的左邊,,因此有,顯然有,可以表示為關(guān)于的函數(shù),從而求出最小值(應(yīng)用基本不等式即可得解)也可以直接湊配出基本不等式的形式,利用基本不等式);(3)這里我們首先分析所處范圍,結(jié)合圖象易知不可能在同一單調(diào)區(qū)間,只能是,那么我們可得出兩點(diǎn)處的切線(xiàn)方程分別為,,兩條切線(xiàn)相同,則有,于是可把表示為(或者)的函數(shù),把求匠范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.

試題解析:(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為4分

(2),

當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032404045540627311/SYS201403240405311562465710_DA.files/image011.png">,所以.8分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

的最小值為1.10分

(3)當(dāng)時(shí),,故

當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為

當(dāng)時(shí),函數(shù)切線(xiàn)方程為

兩切線(xiàn)重合的充要條件是13分

由①及

由①②得

,與都為減函數(shù).

16分

考點(diǎn):(1)單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)圖象的切線(xiàn)及基本不等式;(3)切線(xiàn)與函數(shù)的值域.

 

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已知函數(shù)(其中是實(shí)數(shù)常數(shù),

(1)若,函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)(—1,3)成中心對(duì)稱(chēng),求的值;

(2)若函數(shù)滿(mǎn)足條件(1),且對(duì)任意,總有,求的取值范圍;

(3)若b=0,函數(shù)是奇函數(shù),,且對(duì)任意時(shí),不等式恒成立,求負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

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已知函數(shù)(其中是實(shí)數(shù)常數(shù),

(1)若,函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)(—1,3)成中心對(duì)稱(chēng),求的值;

(2)若函數(shù)滿(mǎn)足條件(1),且對(duì)任意,總有,求的取值范圍;

(3)若b=0,函數(shù)是奇函數(shù),,,且對(duì)任意時(shí),不等式恒成立,求負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

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已知函數(shù)(其中是實(shí)數(shù)).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若,且有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.

(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

 

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已知函數(shù),其中是實(shí)數(shù),設(shè)為該函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn),且.

⑴指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,且,求的最小值;

⑶若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)重合,求的取值范圍.

 

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